面向距离矩阵的更快线性代数算法

一个包含$n$个点的数据集$X$关于距离函数$f$的距离矩阵，表示由$f$导出的$X$中所有点对之间的距离。由于其广泛的适用性，距离矩阵及相关矩阵族一直是近期许多算法研究的焦点。我们延续这一研究方向，以设计专为距离矩阵量身定制的快速算法为目标，对距离矩阵的算法设计进行了广泛审视，旨在解决基础线性代数原语。我们的成果包括：针对一大类距离矩阵（如$\ell_1$度量，我们为其实现了线性运行时间）计算矩阵-向量积的高效算法，以及对于任何计算$\ell_{\infty}$情形下矩阵-向量积的算法，存在一个$\Omega(n^2)$的下界，这显示了$\ell_1$和$\ell_{\infty}$度量之间的分离。我们的上界结果，结合近期关于矩阵-向量查询模型的研究，具有许多进一步的下游应用，包括用于计算由$\ell_1$和$\ell_2^2$函数导出的距离矩阵的相对误差低秩逼近的最快算法，以及用于计算$\ell_2$度量的加性误差低秩逼近的最快算法，此外还有快速矩阵乘法等应用。我们还给出了构造距离矩阵的算法，并证明可以以比Johnson-Lindenstrauss引理所暗示的界限更快的速度构造一个近似的$\ell_2$距离矩阵。