从秩为 $n-1$ 的投影到 $\mathbb{C}^n$ 上幂零算子集的距离

基于 MacDonald 关于 $\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ 中秩一投影到幂零元集合距离的 formula，我们证明 $\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ 中秩 $n-1$ 投影到幂零元集合的距离为 $\frac{1}{2}\sec\left(\frac{\pi}{\frac{n}{n-1}+2}\right)$。对每个 $n\geq 2$，我们构造对 $(Q,T)$ 的例子，其中 $Q$ 是秩 $n-1$ 的投影且 $T\in\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ 是到 $Q$ 距离最小的幂零元。此外，我们证明任意两个这样的对是酉等价的。我们以讨论这些结果在中间秩投影情形下的可能推广作结。