$\mathbb{R}^n$ 上 Zygmund 类与 Hölder 类中的逼近

我们确定了 Zygmund 类 $\Lambda_{\ast}(\mathbb{R}^n)$ 到子空间 $\mathrm{J}(\mathbf{bmo})(\mathbb{R}^n)$ 的距离（相差一个乘法常数）。后一空间是 $\mathbf{bmo}(\mathbb{R}^n)$ 在空间 Bessel 位势 $J := (1-\Delta)^{-1/2}$ 下的像，而 $\mathbf{bmo}(\mathbb{R}^n)$ 是经典 $\mathrm{BMO}$ 的非齐次版本。在局部上，$\mathrm{J}(\mathbf{bmo})(\mathbb{R}^n)$ 由自身及其一阶导数均属于 $\mathbf{bmo}(\mathbb{R}^n)$ 的函数组成。更一般地，我们考虑当 Zygmund 类被 Hölder 空间 $\Lambda_{s}(\mathbb{R}^n)$ 替代时的同一问题，其中 $0 < s \leq 1$，且相应子空间为 $\mathrm{J}_{s}(\mathbf{bmo})(\mathbb{R}^n)$，即 $\mathbf{bmo}(\mathbb{R}^n)$ 在 $(1-\Delta)^{-s/2}$ 下的像。此处应注意 $\Lambda_{1}(\mathbb{R}^n) = \Lambda_{\ast}(\mathbb{R}^n)$。此类结果此前仅对 $n = s = 1$ 已知，且证明无法推广到一般情形。我们的结果用二阶差分表示。作为基于小波证明的副产品，我们还得到了由 $f \in \Lambda_{s}(\mathbb{R}^n)$ 的小波系数给出的其到 $\mathrm{J}_{s}(\mathbf{bmo})(\mathbb{R}^n)$ 的距离。我们还建立了第三种表达该距离的方式，即通过 $f$ 在上半空间 $\mathbb{R}^{n+1}_{+}$ 上调和扩张的双曲梯度大小来表示。