与算子相联系的BMO空间上的Garnett-Jones定理及其应用

设 $X$ 为具有双倍测度的度量空间，$L$ 为 $L^2(X)$ 上的非负自伴算子，其热核满足高斯上界。设 $f$ 属于与算子 $L$ 相联系的 space ${\rm BMO}_L(X)$，我们按如下方式定义其在 ${\rm BMO}_L(X)$ 范数下到子空间 $L^{\infty}(X)$ 的距离： $${\rm dist} (f, L^{\infty}):= \inf_{g\in L^{\infty}} \|f -g\|_{{\rm BMO}_L(X)}.$$ 本文证明 ${\rm dist} (f, L^{\infty})$ 等价于空间 ${\rm BMO}_L(X)$ 的 John-Nirenberg 不等式中常数 $\varepsilon$ 的下确界： $$\sup_B { \mu\big(\{ x\in B: |f(x)-e^{-{r_B^2}L}f(x)|>\lambda\}\big) \over \mu(B)} \leq e^{-\lambda/\varepsilon}\ \ \ \ {\rm for\ large\ } \lambda.$$ 这推广了 Garnett 和 Jones \cite{GJ1} 关于经典 ${\rm BMO}$ 空间（由 John 和 Nirenberg 引入）的著名结果。作为一个应用，我们证明具有紧支集的 ${\rm BMO}_L(X)$ 函数可分解为一个 $L^\infty$-函数与热核（与 $L$ 相联系）关于 $X\times[0,\infty)$ 上有限 Carleson 测度的积分之和。关键的新技术是一个涉及半群 $e^{-tL}$ 的几何构造。我们还借助了若干基本工具，包括停止时间论证与随机二进格。