与算子相关的 Musielak-Orlicz Hardy 空间及其应用

设 $\mathcal{X}$ 为具有加倍测度的度量空间，$L$ 为 $L^2(\mathcal{X})$ 中的非负自伴算子且满足 Davies-Gaffney 估计。设 $\varphi:\,\mathcal{X}\times[0,\infty)\to[0,\infty)$ 为一个函数，使得 $\varphi(x,\cdot)$ 是 Orlicz 函数，$\varphi(\cdot,t)\in A_{\infty}(\mathcal{X})$（Muckenhoupt 权类），且其一致临界下型指数 $i(\varphi)\in(0,1]$。在本文中，作者通过与 $L$ 生成的热半群相关的 Lusin 面积函数引入了 Musielak-Orlicz Hardy 空间 $H_{\varphi,\,L}(\mathcal{X})$，以及 Musielak-Orlicz $\mathop\mathrm{BMO}$ 型空间 $\mathop\mathrm{BMO}_{\varphi,\,L}(\mathcal{X})$，并进一步证明了后者是 $H_{\varphi,\,L}(\mathcal{X})$ 的对偶空间；作为推论，作者获得了 $\mathop\mathrm{BMO}_{\varphi,\,L}(\mathcal{X})$ 的 $\varphi$-Carleson 测度刻画。文中给出了 $H_{\varphi,\,L}(\mathcal{X})$ 的多种刻画，包括原子、分子以及与 $L$ 的 Poisson 半群相关的 Lusin 面积函数刻画。利用原子刻画，作者用 $g^\ast_{\lambda,\,L}$ 刻画了 $H_{\varphi,\,L}(\mathcal{X})$。作为进一步的应用，作者获得了与 Schr"odinger 算子 $L=-\Delta+V$ 相关的 Musielak-Orlicz Hardy 空间 $H_{\varphi,\,L}(\mathbb{R}^n)$ 的若干等价刻画，其中 $0\le V\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ 为非负势，刻画工具包括 Lusin 面积函数、非切向极大函数、径向极大函数、原子和分子。