Musielak-Orlicz Hardy 空间上参数化 Marcinkiewicz 积分的估计

设 $\varphi:\mathbb{R}^n\times[0,\,\infty) \rightarrow [0,\,\infty)$ 满足：对任意给定 $x\in\mathbb{R}^n$，$\varphi(x,\,\cdot)$ 为 Orlicz 函数，且 $\varphi(\cdot\,,t)$ 关于 $t\in(0,\,\infty)$ 一致地为 Muckenhoupt $A_\infty$ 权。Musielak-Orlicz Hardy 空间 $H^\varphi(\mathbb{R}^n)$ 同时推广了加权 Hardy 空间与 Orlicz Hardy 空间，因而具有广泛一般性。本文中，作者首先证明 Musielak-Orlicz 空间 $L^\varphi(\mathbb{R}^n)$ 与弱 Musielak-Orlicz 空间 $WL^\varphi(\mathbb{R}^n)$ 的完备性。随后作者得到 Musielak-Orlicz 空间上算子的两个有界性判据。作为应用，作者对 $\Omega$ 施加较弱光滑性条件（相应地为某 Lipschitz 条件），建立了参数化 Marcinkiewicz 积分 $\mu^\rho_\Omega$ 从 $H^\varphi(\mathbb{R}^n)$ 到 $L^\varphi(\mathbb{R}^n)$（相应地到 $WL^\varphi(\mathbb{R}^n)$）的有界性。即便当对所有 $(x,\,t)\in\mathbb{R}^n\times[0,\,\infty)$ 有 $\varphi(x,\,t):=\phi(t)$（其中 $\phi$ 为 Orlicz 函数）时，这些结果也是新的。