新的鞅不等式及其在傅里叶分析中的应用

设$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$为概率空间，$\varphi:\ \Omega\times[0,\infty)\to[0,\infty)$为Musielak-Orlicz函数。本文中，作者证明了Doob极大算子在Musielak-Orlicz空间$L^{\varphi}(\Omega)$上有界。利用此结论及外推方法，作者进一步建立了$L^{\varphi}(\Omega)$上的Fefferman-Stein向量值Doob极大不等式。作为应用，作者得到了$L^{\varphi}(\Omega)$上Doob极大不等式与Stein不等式的对偶形式，即使在加权Orlicz空间中这些也是新的。作者随后建立了鞅Musielak-Orlicz Hardy空间$H_{\varphi}^s(\Omega)$、$P_{\varphi}(\Omega)$、$Q_{\varphi}(\Omega)$、$H_{\varphi}^S(\Omega)$与$H_{\varphi}^M(\Omega)$的原子刻画。由这些原子刻画，作者进一步推导了不同鞅Musielak-Orlicz Hardy空间之间的一些鞅不等式，本质上改进了Orlicz空间情形下的相应结果，且在加权Orlicz空间中也属新颖。通过在$H_{\varphi}^S(\Omega)$与$H_{\varphi}^M(\Omega)$上建立Davis分解，作者得到了与Musielak-Orlicz函数相关的Burkholder-Davis-Gundy不等式。最后，利用前述鞅不等式，作者证明了极大Fejér算子从$H_{\varphi}[0,1)$到$L^{\varphi}[0,1)$有界，进而推出Fejér平均的一些收敛结果；即使对加权Hardy空间这些结果也是新的。