变量鞅 Hardy-Lorentz-Karamata 空间及其在傅里叶分析中的应用

本文引入了一类新的函数空间，统一并推广了 Lorentz-Karamata 空间、变量 Lorentz 空间以及其他几种经典函数空间。基于这些新空间，我们发展了变量鞅 Hardy-Lorentz-Karamata 空间理论并将其应用于傅里叶分析。具体而言，我们讨论了具有变量指数的 Lorentz-Karamata 空间的基本性质。我们引入了五个变量鞅 Hardy-Lorentz-Karamata 空间，并通过简单原子以及原子对它们进行了刻画。作为原子分解的应用，我们提出了新框架下的对偶定理和广义 John-Nirenberg 定理。此外，我们获得了定义在变量鞅 Hardy-Lorentz-Karamata 空间上的 $\sigma$-次线性算子的有界性，从而导出了鞅不等式以及五个变量鞅 Hardy-Lorentz-Karamata 空间之间的关系。我们还研究了该新框架下分数次积分算子的有界性。最后，利用前述结果处理了变量鞅 Hardy-Lorentz-Karamata 空间在傅里叶分析中的应用。更确切地说，我们证明了如果 $f\in L_{p(\cdot),q,b}$ 且 $1<p_-\le p_+<\infty$，则 Walsh-Fourier 级数的部分和在范数意义下收敛于该函数。我们还研究了 Fej\'{e}r 求和方法，并证明了最大 Fej\'{e}r 算子从变量鞅 Hardy-Lorentz-Karamata 空间到变量 Lorentz-Karamata 空间是有界的。由此，我们得到了关于 Fej\'{e}r 均值几乎处处收敛和范数收敛的结论。本文获得的结果推广了鞅 Hardy-Lorentz-Karamata 空间和变量鞅 Hardy-Lorentz 空间的结果。特别是，我们去除了先前文献中 $b$ 非递减的条件。