涉及 Garsia 范数的 BMO 与 VMO 中的极值问题

给定单位圆 $\mathbb T$ 上的一个 $L^2$ 函数 $f$，我们令 $$\Phi_f(z):=\mathcal P(|f|^2)(z)-|\mathcal Pf(z)|^2,\qquad z\in\mathbb D,$$ 其中 $\mathbb D$ 是开单位圆盘，$\mathcal P$ 是 Poisson 积分算子。Garsia 范数 $\|f\|_G$ 随后被定义为 $\sup_{z\in\mathbb D}\Phi_f(z)^{1/2}$，而空间 ${\rm BMO}$ 由满足 $\|f\|_G<\infty$ 的函数 $f\in L^2$ 构成。如果对于某个点 $z_0\in\mathbb D$ 有 $\|f\|^2_G=\Phi_f(z_0)$，则称 $f$ 为范数可达的 ${\rm BMO}$ 函数，记为 $f\in{\rm BMO}_{\rm na}$。注意 ${\rm BMO}_{\rm na}$ 包含 ${\rm VMO}$，即具有消失平均振荡的函数空间。首先，我们研究 $L^\infty$（以及 $L^\infty\cap{\rm BMO}_{\rm na}$）中满足 $\|f\|_G=\|f\|_\infty$ 性质的函数 $f$。我们更详细地讨论了 $L^\infty$ 被 $H^\infty$ 替代的解析情形。其次，我们证明对于每一个满足 $\|f\|_G=1$ 的函数 $f\in{\rm BMO}_{\rm na}$，它都是 ${\rm ball}\,({\rm BMO})$（即关于 Garsia 范数的 ${\rm BMO}$ 单位球）的极值点。这意味着 ${\rm ball}\,({\rm VMO})$ 的极值点恰好是单位范数的 ${\rm VMO}$ 函数。作为另一个推论，我们得出了关于内部函数的一个有趣的“几何”刻画。