函数在Lipschitz空间到子空间距离的分数热半群表征

设 $\Lambda_s$ 为阶数为 $s\in(0,\infty)$ 的不齐次Lipschitz空间。本文通过分数半群 $\{T_{\alpha, t} :=e^{-t (-\Delta)^{\alpha/2}}: t\in (0, \infty)\}$ 表征函数 $f\in \Lambda_s$ 到非稠密子空间 $V\subset \Lambda_s$ 的距离 $d(f, V)_{\Lambda_s} := \inf_{g\in V} \|f-g\|_{\Lambda_s}$。给定整数 $r >s/\alpha$，当且仅当连续函数 $f$ 属于空间 $\Lambda_s$ 时，存在常数 $\lambda\in(0,\infty)$ 使得下式成立：当 $x\in\mathbb{R}^n$ 和 $t\in (0, 1]$ 时，都有 \n\n\begin{align*} \left|(-\Delta)^{\frac {\alpha r}2} (T_{\alpha, t^\alpha } f)(x) \right|\leq \lambda t^{s -r\alpha }\ \ \text{。}\end{align*}其中，最小的常数记为 $\lambda_{\alpha, r, s}(f)$。对于每个 $f\in \Lambda_s$ 和 $0<\varepsilon< \lambda_{\alpha,r, s}(f)$，设 \n$$D_{\alpha, r}(s,f,\varepsilon):=\left\{ (x,t)\in \mathbb{R}^n\times (0,1]:\ \left| (-\Delta)^{\frac {\alpha r}2} (T_{\alpha, t^\alpha} f)(x) \right|> \varepsilon t^{s -r \alpha }\right\}$$\n\n为“坏点”集合。为量化其规模，我们引入一类扩展的非负的“可采纳集函数” $\nu$ 定义在布尔$\sigma$-代数 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n\times [0, 1])$ 上，对任意可采纳函数 $\nu$，定义“临界指数” $\varepsilon_{\alpha, r, s,\nu}(f):=\inf\{\varepsilon\in(0,\infty):\ \nu(D_{\alpha, r}(s,f,\varepsilon))<\infty\}$。我们的结果表明，对于广泛的子空间 $V\subset \Lambda_s$，包括与Sobolev空间、Besov空间、Triebel--Lizorkin空间以及Besov型空间的交集，存在取决于 $V$ 的可采纳函数 $\nu$，使得 $\varepsilon_{\alpha, r, s,\nu}(f)\sim \mathrm{dist}(f, V)_{\Lambda_s}$。