关于距离函数正则化的半代数Calderon-Zygmund定理

我们证明，对于 $\mathbb{R}^n$ 的任意闭半代数子集 $W$ 和任意正整数 $p$，存在一个 Nash 函数 $f:\mathbb{R}^n\setminus W\longrightarrow (0, \infty)$，它等价于 $W$ 的距离函数，同时是 $\Lambda_p$-正则的，即对于每个 $x\in \mathbb{R}^n\setminus W$ 和每个满足 $1\leq |\alpha|\leq p$ 的 $\alpha\in \mathbb{N}^n$，有 $|D^\alpha f(x)|\leq C d(x, W)^{1- |\alpha|}$，其中 $C$ 为正常数。特别地，$f$ 是 Lipschitz 的。给出了该结果的一些应用。