弱类型交换子与 Lipschitz 估计：Nazarov-Peller 猜想的解决

设 $\mathcal{M}$ 为半有限冯·诺依曼代数，且 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ 为 Lipschitz 函数。若 $A,B\in\mathcal{M}$ 为满足 $[A,B]\in L_1(\mathcal{M})$ 的自伴算子，则 $$\|[f(A),B]\|_{1,\infty}\leq c_{abs}\|f'\|_{\infty}\|[A,B]\|_1,$$ 其中 $c_{abs}$ 为独立于 $f$、$\mathcal{M}$ 及 $A,B$ 的绝对常数，$\|\cdot\|_{1,\infty}$ 表示弱 $L_1$-范数。若 $X,Y\in\mathcal{M}$ 为满足 $X-Y\in L_1(\mathcal{M})$ 的自伴算子，则 $$\|f(X)-f(Y)\|_{1,\infty}\leq c_{abs}\|f'\|_{\infty}\|X-Y\|_1.$$ 该结果解决了 F. Nazarov 与 V. Peller 提出的一个猜想，并隐含了扰动理论中若干已有结果。