关于矩阵到幂零矩阵的距离

我们证明，若存在非零投影 $P$ 使得 $PMP=M$ 且 $M^*M\geq P$，则 $n\times n$ 复矩阵 $M$ 到幂零矩阵集合的距离至少为 $\frac{1}{2}\sec\frac{\pi}{n+2}$。在 $M$ 等于 $P$ 的特殊情形下，这验证了 G.W. MacDonald 于1995年提出的一个猜想。我们还确认了 D.A. Herrero 著作中的一个相关猜想。