Crouzeix 比的局部极小元：一个非光滑优化案例研究

给定一方阵 $A$ 与一多项式 $p$，Crouzeix 比为该多项式在 $A$ 的值域上的范数除以矩阵 $p(A)$ 的 2-范数。Crouzeix 猜想陈述，无论矩阵阶数与多项式次数如何，Crouzeix 比的全局极小值均为 0.5，且已知 1 是一个频繁出现的局部极小值。利用重尾分布初始化我们的优化计算，我们首次证明 Crouzeix 比在 0.5 与 1 之间存在许多其他局部极小值。除展示许多不同起点反复得到相同函数值外，我们还验证了在算得的候选局部极小元处近似非光滑平稳性条件成立。我们还发现，在对实矩阵与多项式、以及复矩阵与多项式进行优化时，常得到相同的局部极小值。我们认为 Crouzeix 比的最小化构成一个非常有趣的非光滑优化案例研究，尤其说明了 BFGS 方法对于非光滑、非凸优化的有效性。我们验证近似非光滑平稳性的方法基于一种或可称为新颖的区间上极大函数近似次梯度求法。我们大量的计算强有力地支持 Crouzeix 猜想：在所有情形中，我们发现最小的局部极小值均为 0.5。