关于Borwein与Choi的系数为 $\pm1$ 分圆多项式猜想的注记

Borwein 与 Choi 猜想，一个次数为 $N-1$、系数为 $\pm1$ 的多项式 $P(x)$ 是分圆多项式当且仅当 $$P(x)=\pm \Phi_{p_1}(\pm x)\Phi_{p_2}(\pm x^{p_1})\cdots \Phi_{p_r}(\pm x^{p_1p_2\cdots p_{r-1}})$$ 其中 $N=p_1p_2\cdots p_{r}$ 且 $p_i$ 为素数，不必互异。这里 $\Phi_p(x):=(x^p-1)/(x-1)$ 是第 $p$ 个分圆多项式。在 \cite{1} 中，他们还证明了当 $N$ 为奇数或 2 的幂时该猜想成立。在本文中我们引入一种所谓的 $E-$变换，借此我们证明了该猜想在更广泛的情形下成立，并给出了关键所在以及研究该猜想的一种新方法。