关于与Schemmel totient函数迭代相关的算术函数

我们首先介绍一类有趣的函数，称为Schemmel totient函数，它推广了欧拉totient函数。对于每个Schemmel totient函数 $L_m$，我们定义两个由迭代 $L_m$ 产生的新函数，记为 $R_m$ 和 $H_m$。粗略地说，$R_m$ 计数达到 $0$ 或 $1$ 所需的 $L_m$ 迭代次数，而 $H_m$ 取迭代轨迹最终达到的值（为 $0$ 或 $1$）。我们的第一个主要结果是证明对任意正整数 $m$，函数 $H_m$ 是完全积性的。随后我们引入一个迭代求和函数，记为 $D_m$，并定义 $D_m$-deficient、$D_m$-perfect 和 $D_m$-abundant 这些术语。我们接着证明若干与这些定义相关的结果，最终证明对所有正偶数 $m$，存在无穷多个 $D_m$-abundant 数。这些函数和术语的引入带来了许多开放问题，我们提及了其中一些，以及一些数值结果。