关于高斯样本的最优匹配 III

本文是文献 [8,9] 的延续,其中讨论了最优匹配问题以及高斯样本经验测度的收敛速率。本文在维数与 Kantorovich 参数两方面均取得了进一步进展,证明了给定 $X_1, \ldots, X_n$ 为独立随机变量,其共同分布为 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$) 上的标准高斯测度 $\mu$,且 $\mu_n \, = \, \frac 1n \sum_{i=1}^n \delta_{X_i}$ 为相应的经验测度,则对任意 $1\leq p < d$,有 $$\mathbb{E} \big( \mathrm {W}_p^p (\mu_n , \mu )\big ) \, \approx \, \frac {1}{n^{p/d}}$$ 其中 $\mathrm {W}_p$ 为第 $p$ 个 Kantorovich 度量。证明依赖于 L. Ambrosio、F. Stra 与 D. Trevisan 在紧致情形下发展的偏微分方程与质量传输方法。