Gromov-Wasserstein距离：熵正则化、对偶性与样本复杂度

Gromov-Wasserstein (GW)距离根植于最优传输(OT)理论，量化度量测度空间之间的不相似性，并为对齐异构数据集提供框架。尽管GW问题的计算方面已被广泛研究，其对偶性理论以及有关经验收敛速率的基本统计问题仍不明晰。本工作针对不同维度$d_x$和$d_y$的欧几里得空间上的二次GW距离填补了这些空白。我们同时处理标准GW距离与熵正则化GW距离，并推导了对偶形式，分别用已被充分理解的OT和熵OT (EOT)问题表示它们。这使得能够采用基于对偶势正则性分析与经验过程理论的统计OT证明技术，借此我们建立了首个GW经验收敛速率。推导出的双样本速率为：标准GW为$n^{-2/\max\{\min\{d_x,d_y\},4\}}$（当$\min\{d_x,d_y\}=4$时至多差一个对数因子），EGW为$n^{-1/2}$，这与标准和熵OT的相应速率匹配。EGW的参数速率显然是最优的，而对于标准GW我们提供了匹配的下界，确立了所推导速率的锐度。我们还研究了EGW在熵正则化参数下的稳定性，并证明了代价与最优耦合的逼近和连续性结果。最后，利用对偶性重新审视了$n$个点上均匀分布的一维GW距离这一开放问题，阐明了为何恒等排列与反恒等排列可能非最优。我们的结果作为基于所发现对偶表述的、面向GW距离的全面统计理论及计算进展的第一步。