偏 Gromov-Wasserstein 距离与鲁棒 Gromov-Wasserstein 距离的度量性质

Gromov-Wasserstein（GW）距离定义了一族基于最优传输思想的度量，可用于比较定义在不同度量空间上的概率测度。它们在网络分析和几何处理等领域特别有用，因为 GW 距离的计算涉及求解对象之间的配准以最小化几何失真。尽管 GW 距离在近期的机器学习文献中被证明对各种应用很有用，但人们观察到它们本质上对离群噪声敏感，且无法容纳部分匹配。对此，各种基于 GW 框架的构造方法已予以解决；本文特别关注由 Chapel 等人提出的一种对 GW 优化问题的自然松弛，旨在解决这些不足。我们的目标是从度量几何的角度理解这一松弛优化问题的理论性质。虽然松弛问题不能诱导度量，但我们精确刻画了它在非退化性和三角不等式公理上的失效方式。这些观察促使我们定义了一族新的距离，其构造受到 Prokhorov 距离和 Ky Fan 距离的启发，也受到 Raghvendra 等人关于经典 Wasserstein 距离鲁棒版本近期工作的启发。我们证明这些新距离定义了真正的度量，它们诱导与 GW 距离相同的拓扑，并且具有对扰动的额外鲁棒性。这些结果为在涉及离群点和部分匹配的应用中使用我们的鲁棒偏 GW 距离提供了严格的数学基础。