Gromov-Wasserstein与Gromov-Monge距离的比较结果

受度量空间上概率测度间最优传输距离的Kantorovich表述启发，Gromov-Wasserstein (GW)距离构成了度量测度空间同构类空间上一族度量。在先前工作中，作者引入了该构造的一个变体，其受最优传输原始Monge表述启发；所得族中元素被称为Gromov-Monge (GM)距离。这些GM距离及相关思想此后成为理论和应用导向视角下的关注主题。在本注记中，我们建立了GM距离的若干理论性质，聚焦于GM与GW距离之间的比较。特别地，我们证明对于非原子度量测度空间，GM与GW距离相等。我们还考虑了GM距离的变体，例如Sturm的$L_p$-传输距离的Monge版本，并给出与GW距离的精确比较。最后，我们建立了GM距离与一种等距不变的Monge最优传输距离之间的双Hölder等价性，后者已在形状和图像分析应用中被使用于欧氏度量测度空间之间。