Z-Gromov-Wasserstein距离

Gromov-Wasserstein（GW）距离是度量测度空间比较的强大工具，在数据科学和机器学习中得到了广泛应用。由于需要分析具有日益复杂结构（如节点和边属性图）的数据集，近期文献中引入了多种GW距离的变体。为了建立GW类距离的一般理论框架，本文考虑了度量测度空间的一个广泛推广：对于任意度量空间Z，我们定义Z-网络为赋予以Z为值核的测度空间。我们通过定义GW距离的一种推广来比较Z-网络，将其称为Z-Gromov-Wasserstein（Z-GW）距离。这一构造涵盖了许多已知的度量，并为理解它们的共同性质提供了统一方法。本文证明了Z-GW距离在Z-网络空间上定义了一个度量，并保留了Z的期望性质，如可分性、完备性和测地性。这些性质对于落入我们框架的GW距离的已有变体而言此前是未知的。本文的重点在于基础理论，但我们的结果也包括对实际应用有用的距离的可计算下界和近似。