热流沿 Wasserstein 距离收缩的刚性

我们在 Wasserstein 距离收缩沿热流动作中建立了刚性与 Bakry-Emery 梯度估计对 Lipschitz 函数刚性之间的等价性。应用 Ambrosio-Brué-Semola 和 Han 的结果，我们表明，如果具有 Ricci 下界 $K\in[0,\infty)$ 的 $\mathrm{RCD}$ 空间存在两个distinct点 $x,y$，使得与之相关联的热核满足 $$W_2(p_t(x,\cdot), p_t(y,\cdot)) = e^{-Kt} d(x,y),$$ 则该空间会分割出一条直线。此外，对于加权光滑流形，我们提供了对所有曲率下界 $K \in \mathbb{R}$ 的刚性定理的直接证明。特别是，我们描述了一个加权欧几里得空间的类作为 Wasserstein 收缩对所有点对都保持尖锐性的唯一空间。