一个带 Wasserstein 距离的非局部自由边界问题

我们研究使泛函 $$J[\rho]=\iint \log\frac1{|x-y|}d\rho(x)d\rho(y)+d^2(\rho, \rho_0)$$ 最小的概率测度 $\rho\in \mathcal M(\mathbb R^2)$，其中 $\rho_0$ 为给定概率测度，$d(\rho, \rho_0)$ 为 $\rho$ 与 $\rho_0$ 的 2-Wasserstein 距离。我们证明极小元 $\rho$ 的存在性，并表明势函数 $U^\rho=-\log|x|\ast \rho$ 解决一个退化障碍问题，其障碍为传输势。每个极小元 $\rho$ 关于 Lebesgue 测度绝对连续。该障碍问题自由边界的奇异集包含于一个可求长集中，且其 Hausdorff 维数 $< n-1$。此外，$U^\rho$ 解决一个非局部 Monge-Ampére 方程，其线性化后导出方程 $\rho_t={\hbox{div}}(\rho\nabla U^\rho)$。我们所发展之方法运用傅里叶变换技巧。对于能量 $$J[\rho]=\iint |x-y|^{2-n}d\rho(x)d\rho(y)+d^2(\rho, \rho_0)$$ 这些方法在维数 $n\ge2$ 时同样适用。