概率测度空间上的最小二乘问题

在本文中，我们研究变分问题 $$\rho_x^\ast = \text{argmin}_{\rho_x} D(G\#\rho_x, \rho_y)\,,$$其中 $D$ 量化两个概率测度之间的差异，${G}$ 是将变量 $x$ 映射到 $y=G(x)$ 的前向算子。该问题可视为其在线性空间（如欧几里得空间）中的对应问题 $\text{argmin}_x \|G(x) - y\|^2$。正如选择范数 $\|\cdot\|$ 影响 $\mathbb R^d$ 或其他线性空间中的优化器一样，概率变分问题中的最小化器也取决于 $D$ 的选择。我们的发现表明，使用 $\phi$-发散作为 $D$ 可恢复 $\rho_y$ 的条件分布，而采用 Wasserstein 距离则可恢复其边际分布。