正定分布与 $L_{-p}$ 的子空间及其在稳定过程中的应用

我们通过将经典 $L_p$ 空间相应性质关于 $p$ 解析延拓，定义 $n$ 维赋范空间到 $L_{-p},\ 0<p<n$ 的嵌入。将嵌入 $L_p$ 与正定函数间的著名联系推广到负 $p$ 的情形：证明赋范空间嵌入 $L_{-p}$ 当且仅当 $\|x\|^{-p}$ 是正定分布。利用该判据，我们推广近期对 1938 年 Schoenberg 问题的解，证明空间 $\ell_q^n,\ 2<q\le \infty$ 嵌入 $L_{-p}$ 当且仅当 $p\in [n-3,n).$ 我们表明在标准形式方法失效的某些情形下，嵌入 $L_{-p}$ 的技术可应用于稳定过程。作为例子，我们证明稳定向量范数期望的相关型不等式。特别地，对每个 $p\in [n-3,n),$ $\Bbb E(\max_{i=1,...,n} |X_i|^{-p}) \ge \Bbb E(\max_{i=1,...,n} |Y_i|^{-p}),$ 其中 $X_1,...,X_n$ 与 $Y_1,...,Y_n$ 为联合 $q$-稳定对称随机变量，$0<q\le 2,$ 使得对某个 $k\in \Bbb N,\ 1\le k <n,$ 向量 $(X_1,...,X_k)$ 与 $(X_{k+1},...,X_n)$ 分别与 $(Y_1,...,Y_k)$ 与 $(Y_{k+1},...,Y_n)$ 同分布，但对任意 $1\le i\le k,\ k+1\le j\le n$ 的选择 $Y_i$ 与 $Y_j$ 独立。