当 $p>2$ 时的 $L_p$ 中有限且双倍子集的欧几里得嵌入、随机聚类与 Lipschitz 延拓

设定 $p>2$。我们证明了 $L_p$ 中每个 $n$ 点子集的欧几里得失真为 $p^3(\log n)^{\frac12+o(1)}$，因此特别地，表明所有 $n$ 点子集在渐近上优于布乔治嵌入定理为任意 $n$ 点度量空间所提供的 $O(\log n)$ 欧几里得失真保证。我们也证明了 $L_p$ 中每个 $n$ 点子集的分离模量为 $O(p^2\sqrt{\log n})$，这在 $p$ 上的依赖性上是尖锐的。我们推导出（细化的）对 $L_p$ 中仲裁分离模量的渐近评估，使得对于任意 $n$ 点子集 $\mathcal{C}$，任意巴拿赫空间 $\mathbf{Z}$，以及任意 $1$ -Lipschitz 函数 $f:\mathcal{C}\to \mathbf{Z}$，都存在一个 $O(p^2\sqrt{\log n})$ -Lipschitz 函数 $F:L_p\to \mathbf{Z}$ 能够延拓 $f$。我们也获得了关于 $L_p$ 中加倍子集的类似分离和延拓结果。