高维中的喜爱距离

设 $S$ 为 $d$ 维欧几里得空间中的 $n$ 点集。为每个 $x\in S$ 分配一个任意距离 $r(x)>0$。令 $e_r(x,S)$ 表示 $S$ 中与 $x$ 距离为 $r(x)$ 的点数。Avis, Erd"os 和 Pach (1988) 引入了极值量 $f_d(n)=\max\sum_{x\in S}e_r(x,S)$，其中最大值取自 $d$ 维空间中的所有 $n$ 点集 $S$ 以及所有距离分配 $r\colon S\to(0,\infty)$。我们仅利用 $n$ 点集中最大单位距离对数的类似渐近性质，快速推导了 $f_d(n)$ 误差项的渐近性，这改进了 Avis, Erd"os 和 Pach (1988) 以及 Erd"os 和 Pach (1990) 的先前结果。然后我们证明了 $d\geq 4$ 时的稳定性结果，断言若满足 $|S|=n$ 的 $(S,r)$ 满足 $e_r(S)=f_d(n)-o(n^2)$，则至多相差 $o(n)$ 个点，$S$ 是具有常数 $r$ 的 Lenz 构造。最后，我们利用稳定性证明，对于足够大的 $n$（取决于 $d$），达到 $f_d(n)$ 的对 $(S,r)$ 在缩放意义下恰好是使 $r\equiv 1$ 时单位距离对数最大化的 Lenz 构造，但在 4 维中有一些例外。类似结果对最远邻有向图也成立，其中 $r$ 固定为对 $x\in S$ 有 $r(x)=\max_{y\in S} |xy|$。