三维空间中的偏好距离

设 $S$ 为欧几里得 $3$ 维空间中的 $n$ 个点集。对每个 $x\in S$ 赋予一距离 $r(x)>0$，令 $e_r(x,S)$ 表示 $S$ 中与 $x$ 距离为 $r(x)$ 的点的个数。Avis、Erd\H{o}s 与 Pach（1988）引入了极值量 $f_3(n)=\max\sum_{x\in S}e_r(x,S)$，其中最大值取遍 3 维空间的所有 $n$ 点子集 $S$ 及所有距离指派 $r\colon S\to(0,\infty)$。我们证明：若配对 $(S,r)$ 使 $f_3(n)$ 取最大且 $n$ 充分大，则除至多 $2$ 个点外，$S$ 包含于一个圆 $\mathcal{C}$ 及其对称轴 $\mathcal{L}$ 中，且对每个 $x\in S\cap\mathcal{L}$，$r(x)$ 等于 $x$ 到 $\mathcal{C}$ 的距离。结合一个新的构造，可得 $f_3(n)=n^2/4 + 5n/2 + O(1)$。