关于 Erdos 固定直径问题中距离乘积的改进下界

Erdos、Herzog 和 Piranian 询问 whether，对于平面上 n 个点（具有固定直径，即点之间的最大距离），正规 n 边形的排列是否最大化它们所有距离对的乘积。最近发现，对于每个偶数 $n \geq 4$，正规 $n$ 边形并非最大化器。然而，所发现的改进实际上非常小。事实上，对于固定直径为 2，记 $\Delta$ 为所有距离对乘积的平方（此处的“平方”是由于与多项式判别式的联系）。然后，对于正规 $n$ 边形，$\Delta = n^n$ 当 $n$ 为偶数。所发现的排列至今已证明 $\Delta = (1+o(1))n^n$，而人们并不知道是否可以得到 $\Delta \geq C n^n$ 对于某个 $C > 1$ 和所有充分大的偶数 $n$。在本文中，我们表明确实 $\liminf_{n\to\infty} \Delta_{\max}/n^n > 1.037$ 当 $n$ 为偶数，这解决了此猜想。其他具有更高 conjectured $\Delta/n^n$ 值的排列实际上已知，但我们尚未获得它们具有大距离乘积的证明。最后，没有已知的排列使得 $\Delta/n^n \to \infty$，我们也不知道它们是否存在。