改进的 Erd\H{o}s--Szekeres 乘积下界

1959 年，Erd\H{o}s 与 Szekeres 提出了一系列关于形如 $$P_n(z) = \prod_{j=1}^n (1 - z^{s_j}),$$ 的多项式大小的问题，其中 $s_1, \dots, s_n$ 为正整数。特别关注的是数量 $$f(n) = \inf_{s_1,\dots,s_n\ge 1} \max_{|z|=1} |P_n(z)|.$$ 他们证明了 $\lim_{n\to\infty} f(n)^{1/n} = 1`，并建立了经典下界$f(n) \ge \sqrt{2n}$。然而，尽管经过六十多年的广泛研究，尚未建立更强的普适下界。本文获得了新的下界$$f(n) \ge 2\sqrt{n}.$$ 这给出了自 1959 年以来 Erd\H{o}s--Szekeres 问题中第一个改进经典下界的结果。特别是，我们的结果确认了 Billsborough 等人所作的论述：若原证明方法可被修正，O'Hara--Rodriguez 下界将恰好得到此不等式。