任意次数Rudin-Shapiro多项式的界

设 $P_{<n}(z)$ 为次数 $n-1$ 的Rudin-Shapiro多项式。我们证明对所有 $n\ge0$ 与 $|z|=1$，有 $|P_{<n}(z)|\le \sqrt{6n-2}-1$，证实了长期存在的猜想。当 $n=(2\cdot 4^k+1)/3$ 且 $z=1$ 时该界是紧的。我们还证明对 $n\ge m\ge0$，有 $|P_{<n}(z)-P_{<m}(z)|\le \sqrt{10(n-m)}$，这在渐近意义下是紧的：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $n>m\ge0$ 与 $|z|=1$ 的 $z$ 使得 $|P_{<n}(z)-P_{<m}(z)|\ge\sqrt{(10-\varepsilon)(n-m)}$，这与Montgomery的一个猜想相矛盾。