超平面上为常值的多项式的次数估计

复欧几里得空间之间球的真有理映射的研究自然引出此类映射的次数与嵌入维数之间的关系。单项式映射的特殊情形等价于本文所讨论的问题。估计一个 $n$ 个实变量多项式的次数 $d$，假设其具有非负系数且在超平面上为常值，用其项数 $N$ 表示。当 $n=1$ 时不可能有这样的估计。已知当 $n=2$ 时紧界 $d\le 2N-3$。本文包含两项主要结果。第一项给出了对所有 $n\ge 2$ 的一个界（对 $n\ge 3$ 不紧）。该界蕴含更易表述的界 $d\le {4(2N-3)\over 3(2n-3)}$（对 $n\ge 3$）。第二项结果是一个稳定化定理；若给定 $d$ 时 $n$ 充分大，则紧界 $d \le {N-1 \over n-1}$ 成立。在此情形下我们确定了所有达到该紧界的多项式。