Zernike 圆多项式（圆盘多项式）径向导数的精确界

我们将 $n$ 次 Zernike 圆多项式（圆盘多项式）的第 $k$ 阶径向导数的最大模的界 $n^{2k}$ 精确化为 $n^2(n^2-1^2)\cdot ... \cdot(n^2-(k-1)^2)/2^k(1/2)_k$。此界得自 Koornwinder 关于圆多项式径向部分展开为第一类 Chebyshev 多项式级数时连接系数的非负性结果。通过使用在 0 处取值的 Jacobi 多项式的平方表示的连接系数的显式表达式，证明新界对于例如方位角阶数 $m$ 满足 $m=O(\sqrt{n})$ 的 $n$ 次 Zernike 圆多项式是精确的。