稳定系统中的幅值最大化、Schur 正性与多项式插值中的一些猜想

对于 r>0 和整数 t≥n>0，我们考虑以下问题：在特征根位于圆盘 {z∈C：|z|≤r} 中的任意齐次线性差分方程的解 x=(x_0,x_1,⋯) 中，以初始值 x_0,…,x_{n-1} 位于单位圆盘内的情况下，最大化时间 t 处的�幅 |x_t|。我们发现，对于任意的 t,n,r 三元组，最大值在特征根位于边界圆上的重合根处取得；特别是，这意味着峰值振幅 sup_{t≥n}|x_t| 可以通过研究特征多项式为 (z-r)^n 的唯一方程来显式最大化。此外，重合根的优化配置也适用于以原点为中心的多极圆盘。为证明此结果，我们首先将问题归约到单项式上的某种插值问题，然后通过借助对称函数理论并识别其 Schur 正性结构来求解后者。我们也讨论了对更一般的 Reinhardt 域的含义。最后，我们研究了从单位圆盘中 n/2 对复共轭点的函数值来估计实整函数导数的問題。我们提出了关于单项式 z^n 极值性的猜想，并以 Schur 多项式的形式重新表述这些猜想。