关于圆盘内简单多边形的周长

一个简单$n$边形是具有$n$条边的多边形，每个顶点恰好属于两条边，且其他每个点至多属于一条边。Brass提出了以下问题：对于奇数$n \geq 5$，包含在欧几里得单位圆盘内的简单$n$边形的最大周长是多少？2009年，Audet、Hansen和Messine回答了这个问题，并证明了最优构型是内接于圆盘的具有多重边的等腰三角形。本文给出了他们结果的一个更简短、更简单的证明，并将其推广到双曲圆盘以及半径足够小的球面圆盘。