两个简单多边形交点数的近乎最优界

假设处于一般位置，一个简单 $m$-边形与一个简单 $n$-边形的边界最多有多少个交点？这是组合几何中的一个基本问题，且若 $m$ 与 $n$ 中至少有一个为偶数，答案很简单：若 $m$ 与 $n$ 均为偶数，则每对边都可能相交，因此答案为 $mn$。若恰有一个多边形（设为 $n$-边形）具有奇数条边，它至多可与 $m$-边形的每条边相交 $n-1$ 次；因此至多有 $mn-m$ 个交点。构造达到这些界 examples 并不困难。若 $m$ 与 $n$ 均为奇数，已知最佳构造有 $mn-(m+n)+3$ 个交点，且猜想此为最大值。然而，已知最佳上界仅为 $mn-(m + \lceil \frac{n}{6} \rceil)$（对 $m \ge n$）。我们证明了一个新的上界 $mn-(m+n)+C$（其中 $C$ 为某常数），该界除 $C$ 的值外是最优的。