非循环有限群中元素阶幂和的确切上界

对有限群 $G$，令 $\psi(G)$ 表示 $G$ 的元素阶之和。该函数由 Amiri、Amiri 和 Isaacs 于 2009 年引入，他们证明了对于任意阶为 $n$ 的有限群 $G$，$\psi(G)$ 取最大值当且仅当 $G \simeq \mathbb{Z}_n$，其中 $\mathbb{Z}_n$ 表示阶为 $n$ 的循环群。此外，Herzog、Longobardi 和 Maj 在 2018 年证明，若 $G$ 非循环，则 $\psi(G) \leq \frac{7}{11} \psi(\mathbb{Z}_n)$。Amiri 和 Amiri 于 2014 年引入函数 $\psi_k(G)$，其定义为 $G$ 的元素阶的 $k$ 次幂之和，并证明对每个正整数 $k$，$\psi_k(G)$ 也取最大值当且仅当 $G$ 为循环群。本文证明了若 $G$ 是阶为 $n$ 的非循环群，则 $\psi_k(G) \leq \frac{1+3.2^k}{1+2.4^k+2^k} \psi_k(\mathbb{Z}_n)$。在我们的结果中令 $k=1$，立即得到 Herzog 等人的结果作为一个简单推论。此外，对有限阿贝尔 $p$-群 $G$ 还得到了一个 $\psi_k(G)$ 的递推公式，利用它可显式求出有限阿贝尔群 $G$ 的 $\psi_k(G)$ 的确切值。