偏序集中最小化可比对数的族

给定一个偏序集 $P$，如果族 $\mathcal{F}\subseteq P$ 是通过“尽可能取接近中间层的集合”获得的，我们就说它是居中的（centered）的。如果对于任何 $M$，在 $P$ 中所有大小为 $M$ 的族中，居中族包含的可比对数最少，则称偏序集 $P$ 具有居中性（centeredness property）。Kleitman 证明了布尔格 $\{0,1\}^n$ 具有居中性。Noel、Scott 和 Sudakov，以及 Balogh 和 Wagner 猜想，只要 $n$ 相对于 $k$ 足够大，偏序集 $\{0,1,\ldots,k\}^n$ 也具有居中性。我们证明了该猜想对于所有 $k\geq 2$ 都不成立，并研究了其成立的 $M$ 的范围。此外，我们通过证明 $\mathbb{F}_q^n$ 的子空间格具有居中性，改进了 Noel、Scott 和 Sudakov 的一个结果。文中还给出了几个未解决的问题。