Sperner 划分系统最大规模的新界

一个 $(n,k)$-Sperner 划分系统是对某个 $n$ 元集的一些划分的集合，每个划分分为 $k$ 个非空类，使得任一划分的任何类都不是其他划分任何类的子集。$(n,k)$-Sperner 划分系统中划分的最大数目记为 $\mathrm{SP}(n,k)$。本文引入了一种用于 Sperner 划分系统的新构造，并利用它在许多情形下当 $\frac{n}{k}$ 变大时渐近地确定了 $\mathrm{SP}(n,k)$。我们还给出了 $\mathrm{SP}(n,k)$ 的一个略微改进的上界，并展示了一族无限的参数集 $(n,k)$ 使得该上界是紧的。