平面中带容差的 Tverberg 划分的新下界

设 $P$ 为 $d$ 维空间中 $n$ 个点的集合。Tverberg 定理指出，若 $n$ 至少为 $(k-1)(d+1)+1$，则 $P$ 可划分为 $k$ 个凸包相交的集合。具有此性质的划分称为{\em Tverberg 划分}。一个划分具有容差 $t$，是指从 $P$ 中移除任意 $t$ 个点后该划分仍为 Tverberg 划分。只要 $n$ 足够大，容差 Tverberg 划分在任何维度均存在。令 $N(d,k,t)$ 为使容差 Tverberg 划分对任意 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 点集存在的最小 $n$ 值。已知 $N(d,k,t)$ 的精确值极少。本文建立了 $N(2,2,2)$ 的一个新的紧界。我们还证明了关于 $N(2,k,t)$ 的许多新下界，其中 $k\ge 2$ 且 $t\ge 1$。