关于具有重复最小非覆盖部分的重分拆的一些恒等式的组合证明

设 $\overline{\mathrm{spt}}_k(n)$ 表示 $n$ 的重分拆的个数，其中最小的非覆盖部分（记为 $s(\pi)$）出现 $k$ 次，并且每个覆盖部分都大于 $s(\pi)$。设 $\overline{\mathrm{spt}}_{k,o}(n)$ 表示 $n$ 的重分拆的个数，其中最小的非覆盖部分出现 $k$ 次，每个覆盖部分都大于 $s(\pi)$，并且除 $s(\pi)$ 之外的所有部分与 $s(\pi)$ 模 $2$ 不同余。此外，设 $b_e(k,n)$（相应地，$b_o(k,n)$）表示由 $\overline{\mathrm{spt}}_{k,o}(n)$ 计数的 $n$ 的重分拆中，大于 $s(\pi)$ 的部分个数为偶数（相应地，奇数）的个数，并令 $$\overline{\mathrm{spt}}_{k,o}'(n)=b_e(k,n)-b_o(k,n).$$ 最近，Malik 和 Sarma (arXiv:2601.15601v1) 将这些分拆函数的生成函数表示为以 $q$ 的多项式为系数的 $q$-级数的线性组合。作为推论，他们推导出了一些涉及 $k=1$ 函数的分拆恒等式，并寻求其结果的组合证明。在本文中，我们给出了一些期望的证明。