Beck 型恒等式：新的组合证明及关于模 r 同余于 t 的部分的定理

令 O_r(n) 为 n 的 r-正则分拆集合，D_r(n) 为 n 的各部分最多重复 r-1 次的分拆集合，O_{1,r}(n) 为恰有一个（可重复）被 r 整除的部分的分拆集合，并令 D_{1,r}(n) 为恰有一个部分出现至少 r 次的分拆集合。若 E_{r, t}(n) 为 O_r(n) 中所有分拆里模 r 同余于 t 的部分数目超出 D_r(n) 中所有分拆里至少出现 t 次的不同部分数目之盈余，则 E_{r, t}(n) = |O_{1,r}(n)| = |D_{1,r}(n)|。我们利用 Xiong 与 Keith 的双射解析且组合地证明此式。作为推论，我们得到首个 Beck 型恒等式，即 O_r(n) 中所有分拆的部分总数超出 D_r(n) 中所有分拆的部分总数之盈余等于 (r - 1)|O_{1,r}(n)| 也等于 (r - 1)|D_{1,r}(n)|。我们的工作给出了不使用 Glaisher 双射的该结果的新组合证明。我们也基于 Xiong-Keith 双射，为先前用 Glaisher 双射证明过的第二个 Beck 型恒等式给出了新的组合证明。