r 阶欧拉对的贝克型恒等式

分拆恒等式通常是断言满足条件 X 的 n 的分拆集合 $\mathcal P_X$ 与满足条件 Y 的 n 的分拆集合 $\mathcal P_Y$ 等数的命题。贝克型恒等式(Beck-type identity)是 $|\mathcal P_X|=|\mathcal P_Y|$ 的伴随恒等式,断言 $\mathcal P_X$ 中所有分拆的各部分数之和与 $\mathcal P_Y$ 中所有分拆的各部分数之和的差 $b(n)$ 等于 $c|\mathcal P_{X'}|$ 且也等于 $c|\mathcal P_{Y'}|$,其中 $c$ 是与原恒等式相关的某个常数,而 $X'$、$Y'$ 分别是相对于条件 X、Y 略微放宽的分拆条件。第二类贝克型恒等式涉及 $\mathcal P_X$ 中所有分拆的不同部分总数与 $\mathcal P_Y$ 中所有分拆的不同部分总数之差 $b'(n)$。我们将这些结果推广到伴随所有由 r 阶欧拉对(对任意 $r\geq 2$)给出的恒等式的贝克型恒等式。作为推论,我们得到许多族新的贝克型恒等式。我们给出了结果的解析证明与双射证明。