k-正则分拆中部分关于同余类的偏倚

对于整数 $k,t \geq 2$ 与 $1\leq r \leq t$，令 $D_k(r,t;n)$ 为 $n$ 的所有 $k$-正则分拆（即 $n$ 的分拆中各部分重数均小于 $k$）中模 $t$ 同余于 $r$ 的部分的个数。利用圆法，我们得到渐近式 $$D_{k}(r,t;n) = \frac{3^{\frac{1}{4}}e^{\pi\sqrt{\frac{2Kn}{3}}}}{\pi t 2^{\frac{3}{4}}K^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}\sqrt{k}}\left(\log k + \left(\frac{3\sqrt{K}\log k}{8\sqrt{6}\pi} - \frac{t\pi(k-1)K^{\frac{1}{2}}}{2\sqrt{6}}\left(\frac{r}{t}- \frac{1}{2}\right)\right)n^{-\frac{1}{2}} + O(n^{-1})\right),$$ 其中 $K = 1 - \frac{1}{k}$。该渐近式的主项不依赖于 $r$，因此若 $P_k(n)$ 为 $n$ 的所有 $k$-正则分拆中部分的总数，我们有 $\frac{D_k(r,t;n)}{P_k(n)} \to \frac{1}{t}$ 当 $n \to \infty$。于是，在弱渐近意义下，部分在同余类中是等分布的。然而，对低阶项的检查表明偏向于较低的同余类；即对于 $1\leq r < s \leq t$，对充分大的 $n$ 有 $D_k(r,t;n) \geq D_k(s,t;n)$。我们使该不等式明确：展示对 $3 \leq k \leq 10$ 与 $2 \leq t \leq 10$，不等式 $D_k(r,t;n) \geq D_k(s,t;n)$ 对所有 $n \geq 1$ 成立，且严格不等式 $D_k(r,t;n) > D_k(s,t;n)$ 对所有 $n \geq 17$ 成立。