k-不可整除分拆中部分同余类之间的意外偏置

对于整数 $k,t \geq 2$ 以及 $1\leq r \leq t$，令 $D_k^\times(r,t;n)$ 为 $n$ 的所有 $k$-不可整除分拆（即所有部分均不被 $k$ 整除的分拆）中，模 $t$ 同余于 $r$ 的部分的数目。利用 Wright 圆法，我们在 $k,t$ 互素时导出了当 $n \to \infty$ 时 $D_k^\times(r,t;n)$ 的渐近式。该渐近式的主项不依赖于 $r$，因此，在弱渐近意义下，这些部分在同余类之间是等分布的。然而，对低阶项的考察表明存在朝向不同模 $t$ 同余类的偏置。这诱导出模 $t$ 同余类上的一个序，我们称之为 $k$-不可整除序。我们证明当 $k \geq \frac{6(t^2-1)}{\pi^2}$ 时，$k$-不可整除序与自然序一致。我们还探讨了当 $k < \frac{6(t^2-1)}{\pi^2}$ 时这些序的性质。