Baranyai 定理的非均匀推广

Baranyai 的一个著名定理指出：当 $k$ 整除 $n$ 时，$n$ 元集的所有 $k$ 子集构成的族 $K_n^k$ 可被划分为完美匹配。换言之，$K_n^k$ 是 $1$-可因子分解的。本文中，我们确定了所有使得由 $[n]$ 中大小不超过 $k$ 的子集构成的族 $K_n^{\le k}$ 为 $1$-可因子分解的 $n, k$，从而将 Baranyai 定理推广至非均匀情形。特别地，我们的结果蕴含：对固定的 $k$ 与充分大的 $n$，$K_n^{\le k}$ 是 $1$-可因子分解的当且仅当 $n \equiv 0$ 或 $-1 \pmod k$。