关于用不相交并生成有限集所有子集的注记
组合数学
2008-11-21 v2
摘要
如果 [n] 的每个子集 (x \subset [n]) 都可以表示为 (\mathcal{G}) 中至多 k 个不相交集的并集，我们称 [n] 的子集族 G 为 (\mathbb{P}[n]) 的 k-生成元。Frein、Leveque 和 Sebo 猜想，对于任何 (n \geq k)，这样的族必须至少与通过将 [n] 划分为大小尽可能相等的类并取这些类的幂集的并集所得到的 k-生成元一样大。我们推广了 Alon 和 Frankl \cite{alon} 的一个定理，以证明对于固定的 k，(\mathbb{P}[n]) 的任何 k-生成元的大小必须至少为 (k2^{n/k}(1-o(1)))，从而在 k 的倍数情况下渐近验证了该猜想。
引用
@article{arxiv.0811.3022,
title = {Note on generating all subsets of a finite set with disjoint unions},
author = {David Ellis},
journal= {arXiv preprint arXiv:0811.3022},
year = {2008}
}
备注
6 pages; shortened version in which we appeal to an exact result of Erdos in place of a weaker, asymptototic version (Lemma 2) which we proved in version 1 of the paper