连通的 Baranyai 定理

令 $K_n^h=(V,\binom{V}{h})$ 为顶点集 $V$ 上 $|V|=n$ 的完全 $h$-一致超图。Baranyai 证明了 $K_n^h$ 可表示为边不交的 $r$-正则因子的并，当且仅当 $h$ 整除 $rn$ 且 $r$ 整除 $\binom{n-1}{h-1}$。利用一种新的证明技术，本文我们证明 $\lambda K_n^h$ 可表示为 $k$ 个边不交因子 $\mathcal G_1\cup \ldots \cup\mathcal G_k$ 的并，其中对 $1\leq i\leq k$，$\mathcal G_i$ 为 $r_i$-正则，当且仅当 (i) 对 $1\leq i\leq k$ 有 $h$ 整除 $r_in$，且 (ii) $\sum_{i=1}^k r_i=\lambda \binom{n-1}{h-1}$。此外，对任意 $i$ ($1\leq i\leq k$) 满足 $r_i\geq 2$ 者，该技术使我们能够保证 $\mathcal G_i$ 是连通的，从而推广了 Baranyai 定理，并回答了 Katona 的一个问题。