给定度序列的图与森林的最小支配数与最大独立数

对于非负整数序列 $d$，令 ${\cal G}(d)$ 和 ${\cal F}(d)$ 分别为所有具有度序列 $d$ 的图和森林的集合。令 $\gamma_{\min}(d)=\min\{ \gamma(G):G\in {\cal G}(d)\}$，$\alpha_{\max}(d)=\max\{ \alpha(G):G\in {\cal G}(d)\}$，$\gamma_{\min}^{\cal F}(d)=\min\{ \gamma(F):F\in {\cal F}(d)\}$，以及 $\alpha_{\max}^{\cal F}(d)=\max\{ \alpha(F):F\in {\cal F}(d)\}$，其中 $\gamma(G)$ 是图 $G$ 的支配数，$\alpha(G)$ 是图 $G$ 的独立数。借鉴 Havel 和 Hakimi 的结果，Rao 在 1979 年指出 $\alpha_{\max}(d)$ 可在多项式时间内确定。我们证明了存在实现 $G\in {\cal G}(d)$ 满足 $\gamma_{\min}(d)=\gamma(G)$，以及 $F_{\gamma},F_{\alpha}\in {\cal F}(d)$ 满足 $\gamma_{\min}^{\cal F}(d)=\gamma(F_{\gamma})$ 和 $\alpha_{\max}^{\cal F}(d)=\alpha(F_{\alpha})$，且这些图具有强结构性质。由此得到了一个高效算法，可针对每个具有有界项的给定度序列 $d$ 确定 $\gamma_{\min}(d)$，并给出了 $\gamma_{\min}^{\cal F}(d)$ 和 $\alpha_{\max}^{\cal F}(d)$ 的闭式公式。