与支配相关的参数的拉姆齐型结果

如下不等式链 $$ir(G)\le \gamma(G)\le i(G)\le \alpha(G) \le \Gamma(G) \le I\!R(G)$$ 被称为支配链，其中 $ir(G), \gamma(G), i(G), \alpha(G), \Gamma(G)$ 和 $I\!R(G)$ 分别是图 $G$ 的下不可约数、支配数、独立支配数、独立数、上支配数和上不可约数。拉姆齐型问题旨在刻画图族 $\mathcal H$，使得每个 $\mathcal H$-自由图 $G$ 具有有界参数 $\mu$。经典拉姆齐定理指出，每个 $\{K_n, E_n\}$-自由图具有有界顶点数。Furuya（Discrete Math.Theor 2018）刻画了使得每个连通 $\mathcal H$-自由图 $G$ 具有有界支配数的 $\mathcal H$。对于使得每个连通 $\mathcal H$-自由图 $G$ 具有有界独立数的图族 $\mathcal H$ 的刻画归功于 Choi、Furuya、Kim、Park（Discrete math. 2020）以及 Chiba、Furuya（Electron. J. Combin., 2022）。在本文中，我们进一步刻画了使得每个连通 $\mathcal H$-自由图 $G$ 对属于集合 $\{ir(G), i(G), \Gamma(G), \text{IR}(G)\}$ 的 $\mu$ 具有有界 $\mu(G)$ 的 $\mathcal H$。这完成了对使得每个连通 $\mathcal H$-自由图 $G$ 沿支配链对 $\mu(G)$ 具有有界 $\mu(G)$ 的 $\mathcal H$ 的刻画。此外，我们刻画了使得每个连通 $\mathcal H$-自由图 $G$ 对与支配数相关的 $\mu$ 具有有界 $\mu(G)$ 的 $\mathcal H$。具体地，我们考虑参数 $O\!I\!R(G)$、$I\!S(G)$ 或 $I\!R\!S(G)$，其中 $O\!I\!R(G)$、$I\!S(G)$ 和 $I\!R\!S(G)$ 分别是图 $G$ 的开不可约数、独立饱和数和不可约饱和数。